斯特林公式

$$n!\approx\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\\ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n!}{\sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}=1\\ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{e^nn!}{n^n\sqrt{n}}=\sqrt{2\pi}$$

证明：待填坑

斯特林公式可以快速计算 $n!$ 的位数：

$$\begin{eqnarray}\lg{n!} &=&\lg{\sqrt{2 \pi n}}+\lg{\left(\frac{n}{e}\right)^n}\\ &=&\frac{\lg{2 \pi n}}{2}+n\lg{\frac{n}{e}} \end{eqnarray}$$

故 $n!$ 的位数为

$$\lfloor\frac{\lg{2 \pi n}}{2}+n\lg{\frac{n}{e}}\rfloor+1$$

#include <cstdio>
#include <cmath>

const double pi = acos(-1), e = exp(1);
long long n, m;

int main() {
	scanf("%lld", &n);
	m = log10(2 * pi * n) / 2 + n * log10(n / e) + 1;
	printf("%lld\n", m);
	return 0;
}