设 $N=a^p,M=a^q$
$①\ \log_a{(NM)}=\log_aN+\log_aM$
证明：$NM=a^{p+q} \Rightarrow \log_a{(NM)}=p+q=\log_aN+\log_aM$
$②\ \log_a{\left(\frac{N}{M}\right)}=\log_aN-\log_aM$
证明：$\frac{N}{M}=a^{p-q}\Rightarrow\log_a{\left(\frac{N}{M}\right)}=p-q=\log_aN-log_aM$
$③\ \log_a{N^\alpha}=\alpha\log_aN$
证明：$N^{\alpha}=a^{\alpha p}\Rightarrow\log_a{N^{\alpha}}=\alpha p=\alpha\log_aN$
$④\ \log_{a^\alpha}N=\frac{1}{\alpha}\log_aN$
证明：$N=(a^{\alpha})^{\frac{p}{\alpha}}\Rightarrow\log_{a^\alpha}N=\frac{p}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}\log_aN$
$⑤\ \log_bN=\frac{\log_aN}{\log_ab}$
证明：设 $a^{\alpha}=b,b^{\beta}=N\Rightarrow a^{\alpha\beta}=N\Rightarrow\frac{\log_aN}{\log_ab}=\frac{\alpha\beta}{\alpha}=\beta=\log_bN$
